Teorija

7. Tjedan

• Lekcija: Osnovni zakoni električnog strujnog kruga

---

1. Osnovni zakoni električnog strujnog kruga

1.1. Ohmov zakon

Definicija

Ohmov zakon opisuje odnos između napona $(V)$, struje $(I)$ i otpora $(R)$ u električnom krugu. Matematički je zapisan:

$$V = I \cdot R.$$

• Jedinična analiza:
  • $V$ u voltima $(\mathrm{V})$,
  • $I$ u amperima $(\mathrm{A})$,
  • $R$ u ohmima $(\Omega)$.

Primjene Ohmovog zakona

1. Izračunavanje struje u otporniku za dani napon: $$I = \frac{V}{R}.$$
2. Određivanje otpora električnog elementa iz izmjerenih vrijednosti struje i napona: $$R = \frac{V}{I}.$$

Primjer: Ako imamo otpornik $R=10\,\Omega$ i kroz njega prolazi struja $I=2\,\mathrm{A}$, tada je napon na otporniku

$$V = 2 \times 10 = 20\,\mathrm{V}.$$

---

1.2. Kirchhoffovi zakoni

1.2.1. Kirchhoffov zakon struje (KZS)

Definicija

Kirchhoffov zakon struje (poznat i kao prvi Kirchhoffov zakon) kaže da je ukupna struja koja ulazi u neki čvor jednaka ukupnoj struji koja izlazi iz tog čvora. Matematički:

$$\sum I_{\text{ulaz}} \;=\; \sum I_{\text{izlaz}}.$$

U praksi:

• Pozitivan predznak daje se strujama koje ulaze u čvor,
• negativan predznak daje se strujama koje izlaze, ili obratno (ovisno o dogovoru).

Primjena

• Koristi se za čvorišnu analizu električnih mreža, gdje se na svakom čvoru zbrajaju struje.

1.2.2. Kirchhoffov zakon napona (KZN)

Definicija

Kirchhoffov zakon napona (poznat i kao drugi Kirchhoffov zakon) kaže da je zbroj napona (porasta i pada) u zatvorenoj petlji (loop) jednak nuli:

$$\sum V = 0.$$

• Pozitivan napon: npr. pad napona na otporniku (od višeg potencijala prema nižem),
• Negativan napon: npr. prolazak kroz izvor napona “u suprotnom smjeru” od pada napona (porast potencijala).

Primjena

• Koristi se za petljnu analizu (loop analysis).
• U jednostavnoj petlji, ako postoji izvor napona $V_s$ i otpornici, možemo zbrojiti padove i postaviti jednadžbu $V_s - I R_1 - I R_2 - \dots = 0.$

Primjer: Ako je petlja s jednim izvorom $12\,\mathrm{V}$ i dva otpornika $R_1=5\,\Omega$ i $R_2=7\,\Omega$ u seriji, i strujom $I$, onda:

$$+12 - I\cdot5 - I\cdot7=0 \quad\Longrightarrow\quad 12 -12I=0 \quad\Longrightarrow\quad I=1\,\mathrm{A}.$$

---

1.3. Zakon o snazi u strujnom krugu

Definicija

Snaga $(P)$ u električnom krugu povezana je s naponom $(V)$ i strujom $(I)$:

$$P= V\cdot I.$$

Izvedeni izrazi

Kombinacijom s Ohmovim zakonom dobijemo:

• $P = I^2 \, R$,
• $P = \frac{V^2}{R}$.

Primjena zakona o snazi

• Procjena toplinskih gubitaka u otpornicima,
• Proračun energije za potrošače (npr. žarulje, grijače).

Primjer: Ako je otpornik $R=8\,\Omega$ i struja kroz njega $I=2\,\mathrm{A}$, tada je snaga

$$P= I^2 R= 4\times8=32\,\mathrm{W}.$$

---

1.4. Primjena osnovnih zakona u analizi strujnih krugova

1. Analiza jednostavnih krugova:
   • Primjena Ohmovog zakona za izračun napona/struje/otpora u jedno-petljnom krugu.
2. Analiza složenih mreža:
   • Upotreba Kirchhoffovih zakona (KZS, KZN) za više čvorova i više petlji.
   • npr. Metoda čvornih napona (osnovana na KZS) i metoda petlji (temelji se na KZN).
3. Primjeri:
   • Serijski spojevi: Struja je ista, napon se dijeli.
   • Paralelni spojevi: Napon je isti, struje se dijele.
   • Mješoviti spojevi: Kombinacija serijskog i paralelnog.

---

Primjeri zadataka

Zadatak 1: Serijski krug s jednim izvorom i dva otpornika

Tekst:
Izvor napona $V_s=15\,\mathrm{V}$ i otpornici $R_1=5\,\Omega$, $R_2=10\,\Omega$ spojeni su serijski. Odredite:

1. Struju $I$ u krugu,
2. Napon na svakom otporniku,
3. Snagu disipiranu na $R_2$.

Rješenje (korak po korak)

1. Ukupni otpor: $$R_{\text{uk}}= R_1+R_2=5 +10=15\,\Omega.$$
2. Struja: (Ohmov zakon) $$I= \frac{V_s}{R_{\text{uk}}}= \frac{15}{15}=1\,\mathrm{A}.$$
3. Napon na $R_1$: $$V_1= I\cdot R_1= 1\times5=5\,\mathrm{V}.$$ Napon na $R_2$: $$V_2= I\cdot R_2= 1\times10=10\,\mathrm{V}.$$ (Provjera: $V_1+V_2=15\,\mathrm{V}$, što se poklapa s izvorom.)
4. Snaga na $R_2$: $$P_2= I^2 R_2= 1^2\times10=10\,\mathrm{W}.$$

---

Zadatak 2: Paralelni krug s jednim izvorom i dvama granama

Tekst:
Izvor $V_s=12\,\mathrm{V}$. Dvije grane:

• prva s otpornikom $R_1=4\,\Omega$,
• druga s otpornikom $R_2=12\,\Omega$.
  Odredite:

1. Struju u svakoj grani,
2. Ukupnu struju iz izvora,
3. Zakon o snazi na svakom otporniku.

Rješenje (korak po korak)

1. U paralelnom spoju, napon na oba otpornika jednak je $V_s=12\,\mathrm{V}$.
2. Struja kroz $R_1$: $$I_1= \frac{V_s}{R_1}= \frac{12}{4}=3\,\mathrm{A}.$$
3. Struja kroz $R_2$: $$I_2= \frac{12}{12}=1\,\mathrm{A}.$$
4. Ukupna struja: $$I_{\text{uk}}= I_1+ I_2= 3+1=4\,\mathrm{A}.$$
5. Snaga na $R_1$: $$P_1= V_s \cdot I_1= 12\times3=36\,\mathrm{W}.$$ Snaga na $R_2$: $$P_2= 12\times1=12\,\mathrm{W}.$$

---

Zadatak 3: Primjena Kirchhoffovih zakona u mreži s tri čvora

Tekst:
Mreža s tri čvora, dva izvora (npr. $V_{s1}=10\,\mathrm{V}$, $V_{s2}=5\,\mathrm{V}$) i tri otpornika. Potrebno je odrediti sve grane struja. (Shemu prepuštamo vježbaču, a postupak općenito.)

Rješenje (kratki opis)

1. Označiti struje i čvorne napone (npr. Metoda čvornih napona).
2. Napisati KZS za svaki čvor (osim referentnog).
3. Napisati KZN ako je potrebno (ili isključivo čvorna metoda).
4. Uz Ohmov zakon (relacije napon-struja-otpor) doći do sustava linearnih jednadžbi.
5. Riješiti sustav → dobiti struje u svakoj grani.

---

Zadatak 4: Snaga izvora i potrošača

Tekst:
Realni izvor napona od $9\,\mathrm{V}$ i unutarnjeg otpora $r=1\,\Omega$ spojen na vanjski otpornik $R_L=8\,\Omega$.

1. Odrediti struju, napon na otporniku $R_L$.
2. Izračunati snagu izvora (koliko daje) i snagu disipiranu u $R_L$ i $r$.
3. Provjeriti izjednačenje snaga.

Rješenje (korak po korak)

1. Ukupni otpor: $R_{\text{uk}}= r+ R_L= 1+8=9\,\Omega.$
2. Struja: $I= \frac{9}{9}=1\,\mathrm{A}.$
3. Napon na $R_L$: $V_L= I\times R_L=1\times8=8\,\mathrm{V}.$
4. Snaga izvora: $P_{\text{izvor}}= I \times V_{\text{izlaz}} \text{(??)}$. Precisely:
   • Idealni dio: $E=9\,\mathrm{V}, I=1\,\mathrm{A}\implies P_{\text{uk}}=9\times1=9\,\mathrm{W}.$
5. Snaga disipirana u $R_L$: $P_L= I^2 R_L= 1^2\times8=8\,\mathrm{W}.$
   • Snaga disipirana u $r$: $P_r= I^2 r=1\times1=1\,\mathrm{W}.$
6. Provjera: $9\,\mathrm{W}$ totalno generirano, potrošač 8 W, unutrašnji otpor 1 W – sumira se 9 W.

---

Zaključak

• Ohmov zakon: $V= I\,R$ – temelj razumijevanja otpora i potencijala.
• Kirchhoffov zakon struje (KZS): zbroj ulaznih struja = zbroj izlaznih struja u čvoru.
• Kirchhoffov zakon napona (KZN): zbroj napona u zatvorenoj petlji = 0.
• Zakon o snazi: $P= V\,I$ i izvedenice.

Vježbe

Auditorne vježbe: Direktna primjena Kirchhoffovih zakona i metoda konturnih (petljnih) struja

---

Teorijski pregled

1. Kirchhoffov zakon struja (KZS):

   • U svakom čvoru zbroj ulaznih struja = zbroj izlaznih struja
   • Mat. oblik: $\displaystyle \sum I_{\text{ulaz}} = \sum I_{\text{izlaz}}$

2. Kirchhoffov zakon napona (KZN):

   • U svakoj zatvorenoj petlji, zbroj svih naponskih porasta i padova = 0
   • Mat. oblik: $\displaystyle \sum V = 0$

3. Metoda konturnih (petljnih) struja:

   • Odabir nezavisnih petlji u mreži i definiranje konturnih struja (npr. $\displaystyle I_{k1}, I_{k2},\dots$).
   • Primjena KZN u svakoj petlji, gdje se napon na otporniku računa prema relativnoj orijentaciji konturnih struja i samih elemenata.
   • Rješavanje dobivenog sustava linearnih jednadžbi za petlje → dobijemo sve struje u mreži.

---

Zadatak 1: Dvopetljni krug s dva izvora

Tekst:
U električnoj mreži (ravninska, 2 petlje) imamo:

• Lijeva petlja s izvorom napona $V_s1 = 12 \,\\mathrm{V}$ i otpornicima $R_1 = 4\\Omega$ i $R_2 = 6\\Omega$.
• Desna petlja s izvorom napona $V_s2 = 8 \,\\mathrm{V}$ i otpornikom $R_3 = 5\\Omega$.
• Otpornik $R_2$ je zajednički element između dviju petlji (spojen u “mostu”).
• Cilj: odrediti struje u svakoj grani primjenom metode konturnih struja.

Rješenje (korak po korak)

1. Odabir konturnih struja

   • Definirajmo konturnu struju $I_{k1}$ u lijevoj petlji (ide npr. u smjeru kazaljke na satu).
   • Konturnu struju $I_{k2}$ u desnoj petlji.
   • U otporniku $R_2$ (zajedničkom) struja će biti $I_{k1} - I_{k2}$ ili $I_{k2} - I_{k1}$ ovisno o predznacima orijentacije (pazimo na dogovor).

2. Napišemo KZN za svaku petlju

   • Lijeva petlja:

     • Otpornik $R_1$ ima pad napona $R_1 \cdot I_{k1}$.
     • Otpornik $R_2$ ima pad npr. $R_2 \cdot (I_{k1} - I_{k2})$, jer struja je $I_{k1}$ minus $I_{k2}$.
     • Izvor $V_{s1} = 12\\,\\mathrm{V}$ uzimamo kao pozitivan porast napona kad ga obilazimo od - do +.
     • KZN: $$+\, V_{s1} - R_1\, I_{k1} - R_2\,(I_{k1} - I_{k2}) = 0.$$
     • Uvrsti vrijednosti: $$12 - 4\,I_{k1} - 6\,(I_{k1} - I_{k2})=0.$$

   • Desna petlja:

     • Otpornik $R_3$ s padom $R_3 \cdot I_{k2}$.
     • Zajednički otpornik $R_2$ s padom $R_2 \cdot (I_{k2} - I_{k1})$ (oprezan s orijentacijom!).
     • Izvor $V_{s2}=8\\,\\mathrm{V}$.
     • KZN: $$+\, V_{s2} - R_3\,I_{k2} - R_2\,(I_{k2} - I_{k1})=0.$$
     • Uvrsti: $$8 - 5\,I_{k2} - 6\,(I_{k2} - I_{k1})=0.$$

3. Rješavanje sustava

   • Lijeva jednadžba: $12 -4I_{k1} -6(I_{k1}-I_{k2})=0$.
     • Simplificiraj: $$12 -4I_{k1}-6I_{k1}+6I_{k2}=0 \\implies 12 -10I_{k1} +6I_{k2}=0.$$
   • Desna jednadžba: $8 -5I_{k2}-6(I_{k2}-I_{k1})=0$.
     • Simplificiraj: $$8 -5I_{k2} -6I_{k2} +6I_{k1}=0 \\implies 8 +6I_{k1} -11I_{k2}=0.$$
   • Sustav je: $$\\begin{cases} -10I_{k1}+6I_{k2}= -12,\\\\ 6I_{k1}-11I_{k2}= -8. \\end{cases}$$

4. Numeričko rješavanje (npr. klasično):

   • Možemo pomnožiti prvu jednadžbu da se jednostavnije eliminira.
   • Lijevu jednadžbu (1) npr. pomnožimo s 11 i desnu (2) s 6.
   • I/ili možemo raditi Gauss-ovom metodom. Izostavimo detalje: dobijemo $I_{k1}, I_{k2}$.

5. Iz konturnih struja do struja u granama

   • npr. struja kroz $R_1$ = $I_{k1}$, kroz $R_3$ = $I_{k2}$, kroz $R_2$ = $I_{k1} - I_{k2}$.
   • Napon i snaga se dobiju primjenom Ohmova zakona i snage formula.

(Cilj je naučiti metodologiju, a numerički izračun neka vježbač provede do kraja.)

---

Zadatak 2: Tri-petljna mreža i direktna primjena Kirchhoffovih zakona

Tekst:
Šira mreža s tri nezavisne petlje i dva čvora. Dva izvora napona $E_1$ i $E_2$ + 4 otpornika. Traži se: struje u svakom kraku. Upotrijebite konturnu metodu.

Rješenje (skraćeno)

1. Identificirati tri nezavisne petlje → uvesti tri konturne struje $I_{k1}, I_{k2}, I_{k3}$.
2. Za svaku petlju: zbroj padova i porasta napona = 0 (KZN).
3. Povezati padove na otpornicima s konturnim strujama, pazeći na zajedničke otpornike (razlika konturnih struja).
4. Dobit ćemo sustav 3 linearne jednadžbe → rješavamo.
5. Iz toga dobijemo struje u svakoj grani i potom napone, snage, itd.

---

Zadatak 3: Direktna KZS primjena (metoda čvornih napona)

Tekst:
U drugom pristupu, možemo primijeniti KZS (Kirchhoffov zakon struje) i tzv. metodu čvornih napona. Recimo da imamo glavni čvor s 3 grane i pripojenim izvorima, te želimo napon čvora i struje.

1. Definiramo referentni čvor (masa).
2. Označimo nepoznati “čvorni napon” $V_1$ prema masi.
3. Pišemo KZS za taj čvor, iskazujući struje prema $V_1$.
   • npr. struja kroz otpornik $R_1 = \\frac{V_1}{R_1}$, itd.
4. Ako postoji izvor napona, možemo ga modelirati.
5. Riješimo i dobijemo $V_1$, pa kasnije i struje.

(Ovaj zadatak ostaje kao konceptualni opis – praksa je usporediva s konturnom metodom, ali umjesto petlji, analiziramo čvorove i struje.)

---

Zadatak 4: Račun snage i verifikacija s Kirchhoffovim zakonima

Tekst:
Imamo DC mrežu s 2 petlje, jedan izvor $E = 20\\,\\mathrm{V}$ i 3 otpornika. Nakon što dobijemo struje, provjerimo:

1. Je li KZS zadovoljen na svakom čvoru?
2. Je li KZN zadovoljen u svakoj petlji?
3. Zbroj potrošene snage (na otpornicima) = snaga izvora?

Rješenje (korak po korak)

1. Prvo izračunamo struje metodom konturnih struja.
2. Provjerimo:
   • KZS: zbroj ulaznih i izlaznih struja po čvoru = 0.
   • KZN: prođimo svaku petlju i zbrojimo padove i poraste napona → 0?
3. Snaga:
   • Snaga izvora: $P_{\text{izvor}}= I_{\text{uk}} \\times E$ ili detaljnije ako je realni izvor.
   • Snage na otpornicima: $P_i= I_{i}^2 \, R_i$ (ili $V_{i}\,I_{i}$).
   • Sumiranjem: $\\sum P_{\text{otpornici}} = P_{\text{izvor}}$.

---

Zaključak

• Direktna primjena Kirchhoffovih zakona (KZS, KZN) osnova je analize električnih mreža.
• Metoda konturnih (petljnih) struja olakšava rješavanje višepetljnih mreža, jer svodi problem na sustav linearnih jednadžbi.
• Provjera snage i “knjigovodstvo” struja (KZS) i napona (KZN) potvrđuju točnost rješenja.
• Ovi alati kritični su za projektiranje i razumijevanje elektroničkih i energetski uređaja.

Ispit

Što Ohmov zakon definira u električnim krugovima?

$V = I + R$

$V = I \cdot R$

$I = V \cdot R$

$R = V \div I$

Koji od sljedećih Kirchhoffovih zakona se odnosi na zbroj struja u čvoru?

Kirchhoffov zakon napona

Kirchhoffov zakon struja

Ohmov zakon

Theveninov zakon

Kako se transformira Theveninov ekvivalentni izvor u Nortonov ekvivalentni izvor?

Zamjenjuje se naponski izvor s paralelnim otporom i strujom

Zamjenjuje se strujni izvor s serijskim otporom i naponom

Zamjenjuje se naponski izvor s serijskim otporom i strujom

Zamjenjuje se strujni izvor s paralelnim otporom i naponom

Koja od sljedećih karakteristika najbolje opisuje idealni izvor napona?

Drži konstantnu struju bez obzira na otpor

Drži konstantan napon bez obzira na struju

Ima beskonačan unutarnji otpor

Ima nula unutarnji otpor

Koji je izraz za ukupni otpor $R_{\text{uk}}$ u paralelnom spoju dva otpornika $R_1$ i $R_2$?

$R_{ ext{uk}} = R_1 + R_2$

$R_{ ext{uk}} = \frac{R_1 + R_2}{2}$

$R_{ ext{uk}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

$R_{ ext{uk}} = \frac{R_1}{R_2}$

Što se događa sa strujom u serijskom spoju kondenzatora ako se jedan od kondenzatora prekine?

Struja kroz ostale kondenzatore se povećava

Struja kroz ostale kondenzatore se smanjuje

Struja kroz sve kondenzatore prestaje

Struja ostaje ista kroz ostale kondenzatore

Kako se kapacitivnost kondenzatora mijenja kada se dodaju kondenzatori u paralelnom spoju?

Kapacitivnost opada

Kapacitivnost ostaje ista

Kapacitivnost raste

Kapacitivnost prvo raste pa opada

Koja od sljedećih izjava najbolje opisuje maksimalni prijenos snage?

Otpornik opterećenja treba biti veći od unutarnjeg otpora izvora

Otpornik opterećenja treba biti manji od unutarnjeg otpora izvora

Otpornik opterećenja treba biti jednak unutarnjem otporu izvora

Otpornik opterećenja ne utječe na prijenos snage

Koji izraz se koristi za Ohmov zakon u električnim krugovima?

$P = V \cdot I$

$V = I + R$

$V = I \cdot R$

$R = V - I$

Što predstavlja Theveninov ekvivalentni izvor u električnim mrežama?

Idealni izvor napona s paralelnim otporom

Idealni izvor struje s serijskim otporom

Idealni izvor napona s serijskim otporom

Idealni izvor struje s paralelnim otporom

Kako se transformira Theveninov izvor u Nortonov ekvivalentni izvor?

Prikazuje se kao strujni izvor s paralelnim otporom

Prikazuje se kao naponski izvor s serijskim otporom

Prikazuje se kao strujni izvor s serijskim otporom

Ne može se transformirati